FHWS/Fusion2018
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2018-02-26 11:08:42 +01:00
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@@ -58,14 +58,17 @@ We compare our C++ implementation of the box filter based KDE approximation to t
The \texttt{ks} packages provides a FFT-based BKDE implementation based on optimized C functions at its core. The \texttt{ks} packages provides a FFT-based BKDE implementation based on optimized C functions at its core.
% Vergleich zu weighted average (in c++) um unseren großen Geschwindigkeitsvorteil zu zeigen. % Vergleich zu weighted average (in c++) um unseren großen Geschwindigkeitsvorteil zu zeigen.
With state estimation problems in mind, we additionally provide a C++ implementation of a weighted average estimator. With state estimation problems in mind, we additionally provide a C++ implementation of a weighted average estimator.
\commentByToni{Vielleicht sollten wir hier noch paar Worte über die Implementierung verlieren. Ist das alles std c++? nehmen wir iwas mega kraßes? usw. vielleicht im camera ready sogar nen link zum coder oder sowas.}
Our C++ implementation is based on algorithm~\ref{alg:boxKDE} with three filter iterations.
No special data structures are necessary, the grid is stored as a two-dimensional array in memory.
In addition, modern CPUs do benefit from the recursive computation scheme of the box filter, as the data exhibits a high degree of spatial locality in memory and the accesses are good predictable, .
%Furthermore, the computation is easily parallelized using SIMD instructions or threads.
The results for performance comparison are presented in plot \ref{fig:performance}. The results for performance comparison are presented in plot \ref{fig:performance}.
% O(N) gut erkennbar für box KDE und weighted average % O(N) gut erkennbar für box KDE und weighted average
The linear complexity \landau{N} of the boxKDE and the weighted average is clearly visible. The linear complexity \landau{N} of the boxKDE and the weighted average is clearly visible.
% Gerade bei kleinen G bis 10^3 ist die box KDE schneller als R und fastKDE, aber das WA deutlich schneller als alle anderen % Gerade bei kleinen G bis 10^3 ist die box KDE schneller als R und fastKDE, aber das WA deutlich schneller als alle anderen
Especially for small $G$ up to $10^3$ the boxKDE is much faster compared to KernSmooth R and fastKDE. Especially for small $G$ up to $10^3$ the boxKDE is much faster compared to BKDE and fastKDE.
% Bei zunehmend größeren G wird der Abstand zwischen box KDE und WA größer. % Bei zunehmend größeren G wird der Abstand zwischen box KDE und WA größer.
Nevertheless, the simple weighted average approach performs the fastest and with increasing $G$ the distance to the boxKDE grows constantly. Nevertheless, the simple weighted average approach performs the fastest and with increasing $G$ the distance to the boxKDE grows constantly.
However, it is obvious that this comes with major disadvantages, like being prone to multimodalities, as discussed in section \ref{sec:intro}. However, it is obvious that this comes with major disadvantages, like being prone to multimodalities, as discussed in section \ref{sec:intro}.
@@ -73,26 +76,25 @@ However, it is obvious that this comes with major disadvantages, like being pron
% Auffällig ist der Stufenhafte Anstieg der Laufzeit bei der R Implementierung. % Auffällig ist der Stufenhafte Anstieg der Laufzeit bei der R Implementierung.
Further looking at fig. \ref{fig:performance}, the runtime performance of the KernSmooth R approach is increasing in a stepwise manner with growing $G$. Further looking at fig. \ref{fig:performance}, the runtime performance of the BKDE approach is increasing in a stepwise manner with growing $G$.
% Dies kommt durch die FFT. Der Input in für die FFT muss immer auf die nächste power of two gerundet werden. % Dies kommt durch die FFT. Der Input in für die FFT muss immer auf die nächste power of two gerundet werden.
This behaviour is caused by the underlying FFT algorithm. This behavior is caused by the underlying FFT algorithm.
% Daher wird die Laufzeit sprunghaft langsamer wenn auf eine neue power of two aufgefüllt wird, ansonsten bleibt sie konstant. % Daher wird die Laufzeit sprunghaft langsamer wenn auf eine neue power of two aufgefüllt wird, ansonsten bleibt sie konstant.
The FFT approach requires the input to be always rounded up to a power of two, what then causes a constant runtime behaviour within the those boundaries and a strong performance deterioration at corresponding manifolds. The FFT approach requires the input to be always rounded up to a power of two, what then causes a constant runtime behavior within those boundaries and a strong performance deterioration at corresponding manifolds.
% Der Abbruch bei G=4406^2 liegt daran, weil für größere Gs eine out of memory error ausgelöst wird. % Der Abbruch bei G=4406^2 liegt daran, weil für größere Gs eine out of memory error ausgelöst wird.
The termination of KernSmooth R at $G=4406^2$ is caused by an out of memory error for even bigger $G$. The termination of BKDE graph at $G=4406^2$ is caused by an out of memory error for even bigger $G$ in the \texttt{ks} package.
% Der Plot für den normalen Box Filter wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen. % Der Plot für den normalen Box Filter wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen.
% Sowohl der box filter als auch der extended box filter haben ein sehr ähnliches Laufzeit Verhalten und somit einen sehr ähnlichen Kurvenverlauf. % Sowohl der box filter als auch der extended box filter haben ein sehr ähnliches Laufzeit Verhalten und somit einen sehr ähnlichen Kurvenverlauf.
% Während die durschnittliche Laufzeit über alle Werte von G beim box filter bei 0.4092s liegt, benötigte der extended box filter im Durschnitt 0.4169s. % Während die durschnittliche Laufzeit über alle Werte von G beim box filter bei 0.4092s liegt, benötigte der extended box filter im Durschnitt 0.4169s.
Both discussed Gaussian filter, namely box filter and extended box filter, yield a similar runtime behaviour and therefore a similar curve progression. Both discussed Gaussian filter, namely box filter and extended box filter, yield a similar runtime behavior and therefore a similar curve progression.
While the average runtime over all values of $G$ for the standard box filter is \SI{0.4092}{\second}, the extended one provides an average of \SI{0.4169}{\second}. While the average runtime over all values of $G$ for the standard box filter is \SI{0.4092}{\second}, the extended one provides an average of \SI{0.4169}{\second}.
To keep the arrangement of fig. \ref{fig:performance} clear, we only illustrated the results of an boxKDE with extended box filter. To keep the arrangement of fig. \ref{fig:performance} clear, we only illustrated the results of an boxKDE with the regular box filter.
\commentByToni{die grafiken haben wir ja jetzt beschrieben, aber ein wenig diskussion in die tiefe fehlt mir trotzdem noch} \commentByToni{die grafiken haben wir ja jetzt beschrieben, aber ein wenig diskussion in die tiefe fehlt mir trotzdem noch}
\commentByToni{also irgendwie kommt der exbox jetzt so plötzlich... der wurde vorher so dünn besprochen und jetzt ist er auf einmal voll im Fokus. wirkt komisch}
\commentByFrank{Farben (blue)(green) in den Bildunterschriften stimmen nicht mehr} \commentByFrank{Farben (blue)(green) in den Bildunterschriften stimmen nicht mehr}
\commentByFrank{Fig4 (error over time) checken ob die beiden farbigen linien jetzt richtig rum sind. NIEMALS GENERIERTE TEX GRAFIKEN DIREKT EDITIEREN} \commentByFrank{Fig4 (error over time) checken ob die beiden farbigen linien jetzt richtig rum sind. NIEMALS GENERIERTE TEX GRAFIKEN DIREKT EDITIEREN}