\section{Position Estimation}
\label{sec:position}

Bei Indoor Lokalisierung geht es darum eine Position zu ermitteln. Hierfür nutzen wir unterschiedliche Verfahren. namley... usw. 

After measuring several distances to different anchor points one can calculate his current position.
%TODO Alles mit 2D, weil halt

\subsection{Multilateration}
%Ganz kurz erläutern was Multilateration eigentlich ist. in 2D min 3 aps und in 3D min. 4D. Aber grundsätzlich gilt: viel hilft viel.
%Es ist uns klar, dass Trilat nichts taugt aber ist halt der einfachste Schritt
%Typische Nachteile: Wenn Schnittpunkt nicht analytisch exakt bestimmt werden können
%FTM Nachteil: Häufig fallen die Messungen aus? Was tun? Alte Werte statisch halten? Keine est berechnen?
%Conceptually, multilateration determines the position by analytically intersecting at least $3$ circles for a 2-dimensional position, or at least $4$ spheres in case of a 3-dimensional coordinate system.

Each distance measurement $d_i$ constrains the position estimate $\hat{\mPosVec}$ to a circle, where the center of the circle is the known position $\mPosVec_i = (x,y)^T$ of AP $i$.
Formally the distance is the euclidean distance between the known position and the estimate
\begin{equation}
d_i = \| \mPosVec_i - \hat{\mPosVec} \|   \text{.}
\end{equation}
In two dimensions three ideal distances form a system of linear equations which can be uniquely solved to obtain the position.
Given more than three distances no solution can be found which stratifies all the constraints as the linear system is overdetermined.
Additionally, in the presence of noise and inaccurate measurements an exact analytical solution is not possible.
In this case an approximative solution $\mPosVec^*$ can be found by using a least squares approach which minimizes the quadratic error between the measured distance and the actual distance at a given point
\begin{equation}
  \mPosVec^* = \argmin_{\hat{\mPosVec}} \sum_{i}^{} \left(  \| \mPosVec_i - \hat{\mPosVec} \| - d_i \right)^2  \text{.}
\end{equation}


% each distance defines the position on a circle
% intersecting the circles gives the position
% at least 3 circles
% only works for perfect measurments



\subsection{Probabilistic}
%Dichte aus Messungen erzeugen.
%Distanzern werden mit Normalverteilung gewichtet
%Vorteil: Nicht ideale Schnittpunkte sind kein Problem, weil die Dichte sowas abbilden kann
%FTM Vorteil: Fehlen von Messungen kann probabilistisch erfasst werden indem Streuung der NV größer wird / Oder es enstehen einfach mehrere Hypthesen über die Position

\subsection{Particle Filter}
%Warum auch noch PF? Weil... die meisten lokalisierungs systeme diesen als nicht-linearen schätzer benutzen. er ist vielseitig und kann einfach mit anderen sensoren kombiniert werden. ist das gängigste sensor fusionsverfahren. die dichte wird in samples repräsentiert und ist damit nur eine approximatino der wahrsch. dichte.. dadurch ganz ander repräsentation als probabilistic teil. außerdem ist es ein FILTER, hat also vergangenheit mit drin.
%Ganz schnell nochmal den PF einführen mit standard formel. ein größerer absatz. 
%Einfaches Bewegungsmodell mit NV random
%ftm bzw. rssi einfach über normalverteilung in die evaluation rein.







